Problem B. 4041. (November 2007)
B. 4041. The lengths of the medians of a triangle are a, b, c. Prove that for all positive numbers , , it is possible to construct a triangle with sides a+b+c, a+b+c, a+b+c.
(4 pont)
Deadline expired on December 17, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Először azt mutatjuk meg, hogy a,b,c hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög. Ha a szokásos módon a háromszög csúcsait A,B,C, az oldalak felezőpontjait Fa,Fb,Fc jelöli, akkor
Mivel az vektorok nem párhuzamosak, hosszuk pedig rendre a,b,c, ez igazolja fenti állításunkat.
Az a,b,c mennyiségekre tehát teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Elegendő megmutatni, hogy a feladatban szereplő három mennyiség is kielégíti azt. Ez három egyenlőtlenséget jelent. Szimmetria okok miatt elegendő az egyiket igazolni. Az
(a+b+c)+(a+b+c)>a+b+c
egyenlőtlenség például ekvivalens az
(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)>0
egyenlőtlenséggel. Fenti megállapításunk és a feladat feltételei szerint ,, és az a+b-c,b+c-a,c+a-b mennyiségek is pozitívak, amiből az egyenlőtlenség azonnal leolvasható.
Statistics:
91 students sent a solution. 4 points: 76 students. 3 points: 9 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007