Problem B. 4062. (February 2008)

B. 4062. Is it possible to draw a) 13, b) 14 circles on the plane, such that each of them is tangent to exactly three others?

(4 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az első kérdésre a válasz nemleges. Képzeljük el ugyanis, hogy 13 kört elhelyeztünk a megfelelő módon. Készítsük el azt a 13 csúcsú gráfot, melynek csúcsai az egyes köröknek felelnek meg, és két csúcs között pontosan akkor van behúzva egy él, ha a megfelelő körök érintik egymást. Ebben a gráfban a fokszámok összege 13^.3=39, ami meg kellene egyezzen az élek számának kétszeresével.

A második esetre viszont nem nehéz példát mutatni. Induljunk ki három egybevágó körből, amelyek páronként érintik egymást: egy egység oldalú szabályos háromszög csúcsai köré rajzoljunk 1/2 sugarú köröket. A háromszög O középpontja köré alkalmas ( $1/\sqrt{3}-1/2$ ) sugarú kört rajzolva négy olyan körhöz jutunk, melyek közül mindegyik érinti a három másikat. Ha ehelyett a három kört O-ból alkalmas arányban

$\left(\frac{1/\sqrt{3}-1/2}{1/\sqrt{3}+1/2}\right)$ lekicsinyítjük, akkor hat körhöz jutunk, melyek közül mindegyik pontosan három másikat érint. Két 4 körből és egy 6 körből álló konfigurációt egymás mellé helyezve 14 megfelelő kört kapunk.

Statistics:

146 students sent a solution.

4 points: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bodor Bertalan, Bujtás László, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Czeller Ildikó, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Héricz Dalma, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Kiss 232 Dóra, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mészáros András, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Salát Zsófia, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szenczi Zoltán, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Török Lajos, Tubak Dániel, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wang Daqian.

3 points: 68 students.

2 points: 31 students.

1 point: 1 student.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

146 students sent a solution.
4 points:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bodor Bertalan, Bujtás László, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Czeller Ildikó, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Héricz Dalma, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Kiss 232 Dóra, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mészáros András, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Salát Zsófia, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szenczi Zoltán, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Török Lajos, Tubak Dániel, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wang Daqian.
3 points:	68 students.
2 points:	31 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?