Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4071. (February 2008)

B. 4071. Prove that for every positive integer n, \min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \big[\sqrt{4n + 1}\,\big].

I. Blahota

(4 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen [\sqrt{n}]=m, ekkor m\le \sqrt{n}<m+1, m2\len<m2+2m+1. Ha k,\ell természetes számok, akkor

\Bigl(k+\frac{n}{k}\Bigr)-\Bigl(\ell+\frac{n}{\ell}\Bigr)= \frac{(k-\ell)(k\ell-n)}{k\ell}\le 0,

feltéve, hogy \ell\le k=m\le \sqrt{n} vagy \ell\ge k=m+1> \sqrt{n}. Innen rögtön következik, hogy

\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \min\Bigl\{ m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr],m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]\Bigr\}.

Ha m2\len\lem2+m-1, akkor

(2m)2+1\le4n+1\le(2m+1)2-4,

vagyis [4n+1]=2m. Továbbá m\le \frac{n}{m}<m+1 és m-1<\frac{n}{m+1}<m miatt

m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]=m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m,

tehát az egyenlőség ez esetben teljesül. Ha pedig m2+m\len\lem2+2m, akkor egyrészt

(2m+1)2\le4n+1\le(2m+2)2-3,

vagyis [4n+1]=2m+1, másrészt m+1\le \frac{n}{m}\le m+2 és m\le \frac{n}{m+1}<m+1 miatt

m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m+1\le m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]\le 2m+2,

tehát az egyenlőség ebben az esetben is teljesül.

Statistics:

32 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Énekes Péter, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:Huszár Kristóf, Kovács 729 Gergely, Strenner Péter.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008