Problem B. 4080. (March 2008)
B. 4080. Three points are selected at random on a circle, independently of each other. What is the probability that the resulting triangle is acute-angled?
(4 pont)
Deadline expired on April 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Tegyük fel egyszerűség kedvéért, hogy a kör kerülete egységnyi, és legyen A a körvonal egy rögzített pontja. Szimmetria okok miatt a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ha egymástól függetlenűl egy B és egy C pontot kiválasztunk a körvonalon, akkor a kör O középpontja az ABC háromszög belsejébe esik. Ha az A,B pontok O-ra vonatkozó tükörképét A',B' jelöli, akkor ez azzal ekvivalens, hogy B
A,A' és C a (rövidebbik) A'B' ív belső pontja.
Rögzítve egy körüljárási irányt, egy-egy értelmű megfeleltetést létesíthetünk az összes (B,C) pontpárok és a [0,1)×[0,1) egységnégyzet (b,c) pontjai között, ahol egy X pontra x jelöli az irányított AX ív hosszát. Azon feltételnek, mely szerint az ABC háromszög hegyesszögű, megfelelő (b,c) pontok halmazát az ábrán besatírozott rész szemlélteti, a határpontokat figyelmen kívül hagyva.
Mivel annak valószínűsége, hogy a P pont egy adott XY ívre esik, megegyezik az XY ív hosszával, a B,C pontok független választása miatt úgy érvelhetünk, hogy a keresett valószínűség megegyezik a besatírozott tartomány területével, ami 1/4-del egyenlő.
Statistics:
89 students sent a solution. 4 points: 72 students. 3 points: 7 students. 1 point: 5 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008