Problem B. 4097. (May 2008)
B. 4097. Solve the following equation on the set of integers: .
(4 pont)
Deadline expired on June 16, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Nyilván y nem lehet 0. 2-vel való beszorzás és átrendezés után az egyenletet 2x/y=3y+2=z alakra hozhatjuk, ahol z (pozitív) egész szám. Innen azt kapjuk, hogy y is pozitív egész, és 2x=zy. A számelmélet alaptétele miatt z 2-hatvány, x pedig olyan pozitív egész, amely osztható y-nal. Mivel 2-nek páros kitevős hatványai 3-mal osztva 1, páratlan kitevős hatványai pedig 3-mal osztva 2 maradékot adnak, x/y páratlan szám. Lévén z5, kapjuk, hogy x=(2k+1)y alkalmas k pozitív egész számmal, ahonnan
Könnyen látható, hogy így minden k pozitív egészre egy megfelelő számpárt kapunk.
Statistics:
107 students sent a solution. 4 points: 83 students. 3 points: 12 students. 2 points: 6 students. 1 point: 2 students. 0 point: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008