Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4103. (September 2008)

B. 4103. On sides BC and CD of a given rectangle ABCD, construct the points P and Q, such that ABPQ forms a kite that is symmetrical to the diagonal AP.

(3 pont)

Deadline expired on October 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen AB=CD=a, BC=DA=b. A feltétel miatt AQ=AB=a, vagyis a Q pontot úgy kapjuk, hogy a CD szakaszt elmetsszük az A középpontú a sugarú körvonallal, a P pont pedig a BAQ szög felezőjének a BC szakasszal alkotott metszéspontja kell legyen. Ha a szerkesztés elvégezhető, akkor így valóban a feladat megoldását kapjuk.

Megmutatjuk, hogy ez pontosan akkor lehetséges, ha a\geb, mely esetben a megoldás egyértelmű lesz. Ha a<b, akkor a fenti körvonal egyáltalán nem metszi a CD egyenest, tehát nincsen megoldás. Ha a=b, akkor az eljárásból Q=D, P=C adódik. Tegyük fel végül, hogy a>b. A körvonal a DC egyenest két pontban metszi, melyek közül pontosan egy esik a CD szakaszra, ez lesz tehát a Q pont. Ellenőrizzük, hogy QC<CB. Valóban, b<a miatt 2b2<2ab, a2-2ab+b2<a2-b2, a-b<\sqrt{a^2-b^2}, vagyis

QC=a-DQ=a-\sqrt{a^2-b^2}<b=CB.

Ha egy elképzelt P pontot a CB oldalon C-ből B-be mozgatunk, akkor a QP távolság szigorúan monoton nő, PB pedig csökken, vagyis pontosan egy olyan helyzet lesz, amikor PQ=PB, ez kell legyen az a pont, amelyet a fenti szerkesztési eljárás szolgáltat.


Statistics:

274 students sent a solution.
3 points:142 students.
2 points:117 students.
1 point:10 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008