Problem B. 4115. (October 2008)
B. 4115. For what positive integers k does 1 occur as a term of the sequence (an), given that a1=k and if an is even, and an+1=an+5 if an is odd?
(5 pont)
Deadline expired on November 17, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A képzési szabály szerint a sorozat minden eleme pozitív egész szám, és vagy minden elem osztható 5-tel, vagy egyik sem. Így ha k osztható 5-tel, akkor a sorozat elemei között az 1 nem fordulhat elő. Megmutatjuk, hogy minden más esetben viszont előfordul. Tegyük fel tehát, hogy a sorozat egyik eleme sem osztható 5-tel. Ha an páros, akkor an+1=an/2<an, ha pedig páratlan, akkor an+2=(an+5)/2<an, feltéve, hogy an>5. Mivel an=5 most nem lehet, ez azt mutatja, hogy a sorozat minden 4-nél nagyobb eleme után található a sorozatban egy nála kisebb elem. Ez pedig azt jelenti, hogy előbb vagy utóbb a sorozatban megjelenik egy olyan an elem, amelyre an4. Ha an=1, akkor készen vagyunk, ha an=2, akkor an+1=1, ha an=4, akkor an+2=1, ha pedig an=3, akkor an+4=1.
Statistics:
159 students sent a solution. 5 points: 77 students. 4 points: 25 students. 3 points: 12 students. 2 points: 8 students. 1 point: 22 students. 0 point: 15 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008