Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4116. (October 2008)

B. 4116. Solve the equation cosnx-sinnx=1 for all positive integers n.

(4 pont)

Deadline expired on November 17, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha n páros, akkor cosnx\le1, sinnx\ge0 miatt az egyenlőség csak cosnx=1, sinnx=0 esetén teljesülhet, vagyis sin x=0, tehát x=k\pi alkalmas k egész számmal, és ezek valóban megoldást adnak. Páratlan n esetén megoldást kapunk, ha cos x=1, vagyis x=2k\pi alakú, valamint akkor is, ha sin x=-1, vagyis x=2k\pi-\pi/2. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül nincs más megoldás. Ha n=1, akkor az egyenletet négyzetre emelve cos2x-2sin xcos x+sin2x=1. Ezt a trigonometrikus Pithagorasz tétellel összevetve kapjuk, hogy sin xcos x=0. Ha sin x=0, akkor cos x=1, ha cos x=0 akkor sin x=-1 kell legyen.

Legyen végül n\ge3 páratlan szám. A b=-sin x jelöléssel az egyenlet cosnx=1-bn, a trigonometrikus Pithagorasz tétel pedig cos2x=1-b2 alakba írható, ahonnan cos2nx értékét kétféleképpen kifejezve (1-bn)2=(1-b2)n adódik. Itt b=0, illetve b=1 esetén teljesül az egyenlőség, amiből a már ismert megoldásokat kapjuk. Ha b<0, akkor (1-bn)2>1>(1-b2)n, ha pedig 0<b<1, akkor kétszer felhasználva, hogy 0<t<1 esetén t2>tn kapjuk, hogy (1-bn)2>(1-b2)2>(1-b2)n.

Statistics:

112 students sent a solution.
4 points:56 students.
3 points:9 students.
2 points:24 students.
1 point:19 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008