Problem B. 4123. (November 2008)

B. 4123. Find the locus of points on the plane such that the sum of squares of their distances from two given points is constant.

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a két adott pont F₁ és F₂. Az F₁F₂ szakasz felezőpontját jelölje O, a szakasz hossza pedig legyen 2f. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melyben F₁ koordinátái (-f,0), az F₂ ponté pedig (f,0), ekkor az O pont éppen az origóba esik. A P(x,y) pont pontosan akkor tartozik a mértani helyhez, ha

PF₁²+PF₂²=(x+f)²+y²+(x-f)²+y²=2(x²+y²+f²)

a megadott c állandóval egyenlő. Innen leolvasható, hogy c<2f² esetén a mértani hely üres, c=2f² esetén a mértani hely egyedül az O pontból áll, c>2f² esetén pedig az O középpontú sugarú körvonallal egyezik meg.

Statistics:

150 students sent a solution.
3 points:	73 students.
2 points:	18 students.
1 point:	2 students.
0 point:	52 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008