Problem B. 4126. (November 2008)
B. 4126. From the endpoints of a chord AB of a circle, drop perpendiculars onto a tangent drawn at a point P of the circle, different from A and B. Drop a perpendicular from P onto the chord AB. Prove that the perpendicular dropped onto the chord is the geometric mean of the perpendiculars dropped onto the tangent.
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A merőlegesek talppontját jelölje rendre C,D és M. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy M az AB félegyenes belső pontja. Ha M=B, vagyis PM=PB, akkor , tehát AP a kör átmérője, és ezért P=C, AP=AC is igaz. Egyébként pedig ha M az AB szakasz pontja, akkor
és
is hegyesszög, vagyis P a C és D pontok között helyezkedik el, ellenkező esetben pedig
tompaszög lesz, és ennek megfelelően a C pont esik P és D közé az ábrának megfeleleően. Mindkét esetben leolvasható a kerületi szögek tételéből, hogy
, vagyis az APC és PBM derékszögű háromszögek hasonlók. Ezért AC/PM=AP/PB ezekben az esetekben is teljesül.
Hasonlóan kapjuk a BPD és PAM háromszögek hasonlóságából, hogy BD/PM=BP/PA. Ezért
vagyis valóban AC.BD=PM2, .
Statistics:
101 students sent a solution. 4 points: 67 students. 3 points: 18 students. 2 points: 4 students. 1 point: 8 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008