Problem B. 4143. (January 2009)

B. 4143. Two adjacent vertices of a square lie on a unit circle. What are the smallest and largest possible distances of the other two vertices from the centre of the circle?

(4 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A másik két csúcs a középponttól ugyanolyan távol helyezkedik el. Az egyszerű megoldás kulcsa a feladat következő átfogalmazása. Adott egy egység sugarú k kör és annak egy A pontja. A pozitív körüljárású ABCD négyzet B csúcsa a k körre illeszkedik. Mi a D csúcsnak a kör O középpontjától való lehetséges legkisebb és legnagyobb távolsága?

A D csúcsot a B-ből A körüli pozitív irányú 90^o-os forgatással kapjuk. Ezért amikor a B csúcs befutja a k kör A-tól különböző pontjait, a D csúcs mértani helye azon O' középpontú k' kör A-tól különböző pontjaiból áll, amelyet a k-ból ugyancsak A körüli pozitív irányú 90^o-os forgatás hoz létre. Az extremális helyzetben lévő D pontok az OO' egyenesen helyezkednek el. Mivel az OO' távolság $\sqrt{2}$ , a D pontnak O-tól való lehetséges legkisebb távolsága $\sqrt{2}-1$ , lehetséges legnagyobb távolsága pedig $\sqrt{2}+1$ .

Statistics:

80 students sent a solution.

4 points: Balla Attila, Bárány Ambrus, Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Brunda Dániel, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fekete Dorottya, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Klenk 191 Blanka, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mészáros András, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.

3 points: Béres Ferenc, Böőr Katalin, Czégel Dániel, Huszár Kristóf, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor.

2 points: 11 students.

1 point: 4 students.

0 point: 21 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009

80 students sent a solution.
4 points:	Balla Attila, Bárány Ambrus, Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Brunda Dániel, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fekete Dorottya, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Klenk 191 Blanka, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mészáros András, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
3 points:	Béres Ferenc, Böőr Katalin, Czégel Dániel, Huszár Kristóf, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor.
2 points:	11 students.
1 point:	4 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?