Problem B. 4145. (January 2009)

B. 4145. The longer base of a symmetrical trapezium ABCD is at most twice as long as the shorter base. P is a point in the interior of the trapezium. Prove that there exists a quadrilateral whose vertices lie on the sides of the trapezium and whose sides are of lengths AP, BP, CP and DP in some order.

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy a hosszabbik alap AB. Húzzuk be a P ponton áthaladó, a szárakkal párhuzamos két egyenest. Ezek metszéspontját az AB alappal jelölje X és X' úgy, hogy a pontok sorrendje az AB egyenesen A,X,X',B legyen. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy AXBX', és ekkor a feltétel miatt AX<AB/2CD. Ezért az AXZD paralelogramma Z csúcsa a CD oldal belső pontja lesz.

Ha a P pontot e paralelogramma középpontjára tükrözzük, akkor az AD szár egy olyan U pontját kapjuk, amelyre AP=UZ és DP=UX. A P pontot az XBCZ szimmetrikus trapéz tengelyére tükrözve pedig a BC szár egy Y pontját kapjuk, amelyre BP=XY és CP=ZY. Az XYZU négyszög ezek szerint a kívánalmaknak eleget tesz.

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Győrfi 946 Mónika, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janzer Olivér, Jéhn Zoltán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Klenk 191 Blanka, Kovács 888 Adrienn, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Milánkovich Dorottya, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:	Bágyoni-Szabó Attila, Nagy 729 Krisztina, Szenczi Zoltán.
3 points:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009