Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4148. (January 2009)

B. 4148. Solve the following system of equations:

x3y+xy3=10,

x4+y4=17.

(4 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az xy=a,x2+y2=b helyettesítéssel az egyenletek ab=10, b2-2a2=17 alakra hozhatók. Innen b2-2(10/b)2-17=0, b4-17b2-200=0 adódik. A másodfokú egyenletet b2-re megoldva kapjuk, hogy b2=25, a másik gyök ugyanis negatív. Mivel b\ge0, innen b=5, a=2 adódik. Ebből kiindulva kapjuk, hogy (x+y)2=b+2a=9, (x-y)2=b-2a=1, vagyis x+y=\pm3, x-y=\pm1. A négy előjelkombinációnak megfelelően négy lehetőséghez jutunk:

x_1=2,\ y_1=1;\quad x_2=1,\ y_2=2;\quad x_3=-1,\ y_3=-2;\quad x_4=-2,\ y_4=-1.

Az egyenletrendszert mind a négy számpár kielégíti.

Statistics:

175 students sent a solution.
4 points:89 students.
3 points:39 students.
2 points:18 students.
1 point:14 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009