Problem B. 4149. (January 2009)

B. 4149. The orthogonal projections of a point onto the lines of the altitudes drawn from vertices A, B, C of a triangle are denoted by A₁, B₁, C₁, respectively. Prove that there is exactly one point in the plane of the triangle for which the line segments AA₁, BB₁, CC₁ are equal, and then the length of these line segments is equal to the diameter of the inscribed circle of triangle ABC.

Based on a problem in Kvant

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Kicsit általánosabban, vetítsünk a magasságvonalak egyeneseire. Az A,B,C csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjára tükrözve ahhoz az A'B'C' háromszöghöz jutunk, amelynek középvonalai éppen az eredeti háromszög oldalai. Az a feltétel, hogy az AA₁, BB₁, CC₁ szakaszok hossza megegyezik, ekvivalens azzal, hogy a szóban forgó pont az A'B'C' háromszög oldalaitól egyenlő távolságban helyezkedik el. Ilyen pont pontosan négy van: az A'B'C' háromszögbe írható kör középpontja, illetve kozzáírt köreinek középpontja. Az utóbbi esetekben valamelyik vetület nem a magasságvonalra esik, hanem annak meghosszabbítására. Az első esetben az AA₁, BB₁, CC₁ szakaszok közös hossza megegyezik az A'B'C' háromszögbe írható kör sugarával. Mivel az A'B'C' háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, a hasonlóság aránya pedig 2:1, valóban az ABC háromszögbe írt kör átmérőjéről van szó. A vetületek pedig biztosan a magasságvonalakra esnek, hiszen a beírt kör átmérője rövidebb bármelyik magasságvonal hosszánál.

Statistics:

28 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Hajdók Soma, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Zsakó András.
4 points:	Márki Róbert, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tóth 222 Barnabás, Tuan Nhat Le.
2 points:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009