Problem B. 4150. (January 2009)

B. 4150. Two different digits of a number of at least 100 digits and not divisible by ten are interchanged, the resulting number has the same prime factors as the original number. Show an example for such a number.

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az n darab egyesből álló számot 13-mal szorozzuk, akkor az n+1 jegyű számhoz jutunk, 31-gyel szorozva pedig az ugyancsak n+1 jegyű számot kapjuk. Elegendő tehát olyan n99 számot keresni, amelyre az A_n=(10ⁿ-1)/9 szám prímosztói között szerepel a 13 és a 31 is. A kis Fermat tétel szerint és . Ha tehát n osztható 12-vel és 30-cal is, akkor A_n osztható mind 13-mal, mind 31-gyel. A B₁₂₀ szám ezek szerint megfelelő példa.

Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horváth Dániel, Kiss 427 Borbála, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:	Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009