Problem B. 4161. (February 2009)

B. 4161. Assume that a set S obtained by leaving a finite number of positive elements out of the set of natural numbers is closed under addition. Let k be an element of S. If k is subtracted from each element of S, in how many cases will the result not belong to S?

(3 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tekintsük $x=0,1,2,\ldots,k-1$ esetén az $S_x=S\cap\{x,x+k,x+2k,\ldots\}$ halmazt, ezek egyike sem lehet üres. Rögzített x esetén legyen s_x=x+ik az S_x halmaz legkisebb eleme, nyilván $s_x-k\not\in S$ . Azonban k $\in$ S miatt s_x+k $\in$ S, és általában, ha s_x+jk $\in$ S, akkor s_x+(j+1)k $\in$ S, vagyis $S_x=\{s_x,s_x+k,s_x+2k,\ldots\}$ . Ezért s_x $\ne$ y $\in$ S_x esetén y-k $\in$ S_x $\subset$ S, tehát minden egyes S_x halmaz S-nek pontosan egy olyan elemét tartalmazza, amelyből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk. Mivel S a páronként diszjunkt S_x halmazok egyesítése, a szóban forgó elemek száma éppen k.

Statistics:

26 students sent a solution.

3 points: Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.

2 points: Lajos Mátyás.

1 point: 1 student.

0 point: 11 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

26 students sent a solution.
3 points:	Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.
2 points:	Lajos Mátyás.
1 point:	1 student.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?