Problem B. 4164. (March 2009)
B. 4164. Prove that if a triangle can be constructed from every three line segments selected out of a set of 5, then there exist three line segments in the set that form an acute-angled triangle.
(3 pont)
Deadline expired on April 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az xyz oldalakkal bíró háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha x2+y2>z2 teljesül, amiről például a koszinusz-tétel segítségével könnyen meggyőződhetünk. Ha tehát az abcde szakaszok közül semelyik háromból szerkesztett háromszög nem lenne hegyesszögű, akkor a2+b2c2, b2+c2d2, c2+d2e2 miatt
e2d2+c22c2+b23b2+2a2b2+2ab+2a2>(a+b)2,
vagyis e>a+b lenne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségnek.
Megjegyzés: Négy szakaszt azonban könnyen megadhatunk, legyen például a=1, , , .
Statistics:
74 students sent a solution. 3 points: 64 students. 2 points: 3 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009