Problem B. 4165. (March 2009)
B. 4165. The diagonals of a convex quadrilateral ABCD intersect at O. Prove that AB2+BC2+CD2+DA2=2(AO2+BO2+CO2+DO2) is true if and only if the diagonals AC and BD are perpendicular or one of them has its midpoint at O.
Kvant
(3 pont)
Deadline expired on April 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az O pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje értelemszerűen a,b,c,d. A vektorok skaláris szorzatát használva a szóban forgó összefüggést
(b-a)2+(c-b)2+(d-c)2+(a-d)2=2(a2+b2+c2+d2)
alakban írhatjuk fel, ami ekvivalens az ab+bc+cd+da=0, vagy másképpen az (a+c)(b+d)=0 összefüggéssel. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a+c=0, vagyis c=-a, tehát O az AC átló felezőpontja, vagy b+d=0, tehát O a BD átló felezőpontja, vagy pedig az AC átlóval párhuzamos nemnulla a+c vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos nemnulla b+d vektorra.
Statistics:
102 students sent a solution. 3 points: 90 students. 2 points: 3 students. 1 point: 6 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009