Problem B. 4166. (March 2009)
B. 4166. Construct a point D on the side BC of triangle ABC, such that the inscribed circles of triangles ABD and ACD touch each other on the line AD.
(3 pont)
Deadline expired on April 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Tegyük fel, hogy a beírt körök az AD szakaszt az EB, illetve EC pontban érintik. Ekkor
A két érintési pont pontosan akkor esik egybe, ha BD-CD=AB-AC. A BD+CD=BC feltétel miatt ez ekvivalens azzal, hogy BD=(AB+BC-AC)/2. A háromszög-egyenlőtlenség miatt ez a mennyiség pozitív, de kisebb, mint BC. Minden esetben található tehát a BC oldalon pontosan egy megfelelő D pont, melynek megszerkesztése a fentiek alapján magától értetődő módon történik.
Statistics:
70 students sent a solution. 3 points: Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Bősze Zsuzsanna, Czeller Ildikó, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Hegedűs Csaba, Horváth 606 Roland, Kiss 232 Dóra, Klenk 191 Blanka, Kovács 235 Gábor, Kovács 888 Adrienn, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Mészáros András, Németh 217 Balázs, Rácz Zoltán, Somogyi Ákos, Varju 105 Tamás. 2 points: 42 students. 1 point: 6 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009