Problem B. 4174. (April 2009)
B. 4174. Solve the following simultaneous equations on the set of real numbers:
(1) | 4a+bc=32, |
(2) | 2a-2c-b2=0, |
(3) | a+12b-c-ab=6. |
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az (1) összefüggés felhasználásával a (2), illetve (3) egyenletből a-t kiküszöbölve a
(2') | 4c+bc+2b2=32, |
(3') | 16b+2b2+b2c=24 |
egyenletekre jutunk. A c ismeretlent is kiküszöbölhetjük, ha a (2') egyenletet b2-tel, (3')-t pedig (b+4)-gyel szorozzuk. Az így nyert két egyenletet egymásból kivonva, majd 2-vel leosztva b4-b3-28b2-20b+48=0 adódik. Mivel itt az együtthatók összege 0, az egyenletnek b=1 gyöke. A b-1 gyöktényezőt kiemelve az egyenletet (b-1)(b3-28b-48)=0 alakra hozhatjuk. Bízva abban, hogy az egyenletnek további egész gyökei is vannak, 48 osztóival próbálkozva hamar megtaláljuk a b=-2 megoldást is, amellyel a b3-28b-48=(b+2)(b2-2b-24) szorzattá alakítást elvégezve a maradék két gyököt a b2-2b-24 másodfokú egyenlet megoldásaként nyerjük. A négy lehetőség tehát b1=1, b2=-2, b3=-4 és b4=6. A megfelelő c1=6, c2=12, c3=3,5, illetve c4=-4 értékeket megkaphatjuk a (3') egyenletbe történő behelyettesítéssel, végül (1) alapján rendre a1=6,5, a2=14, a3=11,5 és a4=14 adódik. Az egyenletrendszert mind a négy számhármas kielégíti.
Statistics:
91 students sent a solution. 4 points: 62 students. 3 points: 10 students. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009