Problem B. 4175. (April 2009)

B. 4175. Let A, B, C, D be any points in the plane. Prove that if the circles ABC and ABD intersect each other at right angles then the circles ACD and BCD also intersect each other at right angles.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tekintsük az A középpontú, AB sugarú körre vonatkozó inverziót. Ez az A pontot az ideális pontba viszi, a B pontot pedig helybenhagyja. A C, illetve D pontok képét jelölje C' és D'. Az transzformáció az ABC kört a BC' egyenesbe, az ABD kört pedig a BD' egyenesbe viszi. Mivel az inverzió szögtartó transzformácó, ez a két egyenes egymásra merőleges, vagyis a C'BD' szög derékszög. Másként fogalmazva, a B pont a C'D' szakasz Thalesz-körére illeszkedik, tehát a BC'D' kör merőlegesen metszi a C'D' egyenest. Így a BC'D' kör -nél vett képe, ami nem más, mint a BCD kör, szintén merőlegesen metszi az ACD kört, ami a C'D' egyenes képe.

Statistics:

23 students sent a solution.
4 points:	Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Fonyó Dávid, Hajdók Soma, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Mészáros András, Mezei Márk, Milánkovich Dorottya, Nagy 648 Donát, Pálfi Bence, Popper Dávid.
3 points:	Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Szenczi Zoltán.
2 points:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009