Problem B. 4176. (April 2009)
B. 4176. Solve the following equation:
(sin x+sin 2x+sin 3x)2+(cos x+cos 2x+cos 3x)2=1.
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Felhasználva a sin2+cos2
=1 és a sin
sin
+cos
cos
=cos (
-
) összefüggéseket, a négyzetreemelést elvégezve és a tagokat megfelelően csoportosítva az egyenletet
3+4cos x+2cos 2x=1, cos 2x+2cos x+1=0
alakra hozhatjuk. Mivel cos 2x=2cos2x-1, ez ekvivalens a cos2x+cos x=0 egyenlettel. Ez pontosan akkor teljesül, ha cos x=0, vagy ha cos x=-1. Az egyenlet megoldásai tehát az x=/2+k
és az x=
+2k
számok, ahol k végigfut az összes egész számon.
Statistics:
80 students sent a solution. 4 points: 56 students. 3 points: 18 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009