Problem B. 4182. (May 2009)

B. 4182. The endpoints of the hypotenuse of a right-angled triangle of area t are the foci of an ellipse, and the third vertex lies on the ellipse. Prove that the area of the ellipse is at least $\sqrt{2}\pi t$ .

(3 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög befogói a és b, az ellipszis fókuszpontjai F₁,F₂, középpontja O, nagy-, illetve kistengelyének egyik végpontja pedig N és K. Az ellipszis mértani helyként történő megadása alapján az ellipszis nagytengelye n=F₁N+F₂N=a+b, a kistengely hosszát pedig az F₁OK derékszögű háromszögből így számolhatjuk ki: $F_1O=\sqrt{a^{2}+b^{2}}/2$ , F₁K=(a+b)/2, $k=2OK=2\sqrt{F_1K2-F_1O2}=\sqrt{2ab}$ . Így a számtani- és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség alapján az ellipszis területe

$T=\frac{\pi}{4}nk\ge \frac{\pi}{4}\cdot2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot ab=\sqrt{2}\pi t,$

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő szárú.

Statistics:

70 students sent a solution.

3 points: 55 students.

2 points: 2 students.

1 point: 5 students.

0 point: 4 students.

Unfair, not evaluated: 4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009

70 students sent a solution.
3 points:	55 students.
2 points:	2 students.
1 point:	5 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?