Problem B. 4201. (September 2009)

B. 4201. Prove that the inequality is true for all positive numbers a, b, c.

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle x=a/b\), \(\displaystyle y=b/c\), \(\displaystyle z=c/a\) helyettesítéssel hozzuk az egyenlőtlenséget

\(\displaystyle \frac{x}{x^2+{3}}+\frac{y}{y^2+{3}}+\frac{z}{z^2+{3}} \le \frac{3}{4},\)

majd felszorzás után

\(\displaystyle 4\{x(y^2+3)(z^2+3)+y(x^2+3)(z^2+3)+z(x^2+3)(y^2+3)\}\le 3(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\)

alakra. átalakítva

\(\displaystyle 4\{(xyz(xy+xz+yz)+3(xy^2+x^2y+xz^2+x^2z+yz^2+y^2z)+9(x+y+z)\}\le\)

\(\displaystyle \le3\{x^2y^2z^2+3(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+9(x^2+y^2+z^2)+27\}.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle xyz=1\), \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\), \(\displaystyle x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=(xy+xz+yz)^2-2xyz(x+y+z)\) és

\(\displaystyle xy^2+x^2y+xz^2+x^2z+yz^2+y^2z=(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz,\)

az \(\displaystyle A=x+y+z\) és \(\displaystyle B=xy+xz+yz\) helyettesítéssel a bizonyítandó egyenlőtlenség

\(\displaystyle 4\{B+3(AB-3)+9A\}\le 3\{28+3(B^2-2A)+9(A^2-2B)\},\)

azaz

\(\displaystyle 0\le 9B^2-12AB-58B+27A^2-54A+120.\)

Mivel \(\displaystyle A=B=3\) esetén itt egyenlőség áll, a jobboldalon álló kifejezést célszerű így átalakítani:

\(\displaystyle 6(B-A)^2+3(B-3)^2+9(A-3)^2+4(3A^2-10B+3).\)

Elegendő tehát annyit megmutatni, hogy

\(\displaystyle 0\le 3A^2-10B+3=3(x^2+y^2+z^2)-4(xy+xz+yz)+3.\)

Mivel \(\displaystyle xyz=1\), az \(\displaystyle x,y,z\) számok között van kettő olyan, amelynek nagyságviszonya az 1-hez ugyanolyan. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) ilyen, vagyis \(\displaystyle x,y\le 1\) vagy \(\displaystyle x,y\ge 1\) fennáll. Alkalmazzuk a \(\displaystyle z=1/xy\) helyettesítést. Ha felszorzunk \(\displaystyle x^2y^2\)-tel, akkor a bizonyítandó egyenlőtlenség az

\(\displaystyle 0\le 3(x^4y^2+x^2y^4+1)-4(x^3y^3+x^2y+xy^2)+3x^2y^2\)

alakot ölti. Ezt viszont könnyen leolvashatjuk, ha a jobboldali kifejezést

\(\displaystyle 2(x^2y-xy^2)^2+(x^2y-1)^2+(xy^2-1)^2+x^2(y-1)^2+y^2(x-1)^2+(x^2-1)(y^2-1)\)

alakba átírjuk. Könnyen ellenőrizhetjük azt is, hogy egyenlőség csakis \(\displaystyle x=y=z=1\), vagyis \(\displaystyle a=b=c\) esetén áll fenn.

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Gudenus Balázs, Kaposvári István, Márkus Bence, Mester Márton, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos.
4 points:	Karl Erik Holter, Perjési Gábor.
2 points:	8 students.
1 point:	6 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009