Problem B. 4203. (October 2009)
B. 4203. A common tangent of two intersecting circles touches them at the points A and B, and the line segment connecting their centres intersects them at C and D, respectively. Prove that ABCD is a cyclic quadrilateral.
(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A körök középpontját jelölje \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) az ábrán látható módon. Mivel \(\displaystyle BAC\sphericalangle+CAM\sphericalangle=90^\circ\), az \(\displaystyle AMC\) egyenlőszárú háromszögben \(\displaystyle AMC\sphericalangle= 180^\circ -2CAM\sphericalangle=2BAC\sphericalangle\). Hasonlóképpen, \(\displaystyle BND\sphericalangle=2ABC\sphericalangle\). Az \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BN\) szakaszok párhuzamossága miatt \(\displaystyle AMC\sphericalangle+BND\sphericalangle=180^\circ\), ahonnan \(\displaystyle BAC\sphericalangle+ABC\sphericalangle=90^\circ\), vagyis az \(\displaystyle ABC\) háromszög a \(\displaystyle C\) csúcsnál derékszögű. Hasonlóképpen \(\displaystyle ADB\sphericalangle=90^\circ\) is igaz. A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok tehát az \(\displaystyle AB\) szakasz fölé emelt Thalesz-körön vannak, az \(\displaystyle ABCD\) négyszög valóban húrnégyszög.
Statistics:
144 students sent a solution. 4 points: 97 students. 3 points: 13 students. 2 points: 5 students. 1 point: 5 students. 0 point: 17 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009