Problem B. 4216. (November 2009)

B. 4216. Find all perfect squares of the form $\underbrace{aaa\dots a}_{n\ digits} \underbrace{bbb\dots b}_{n\ digits}$ .

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha $\displaystyle n=1$, akkor a kétjegyű négyzetszámokról van szó. Tegyük fel a továbbiakban, hogy $\displaystyle n\ge 2$. A szóban forgó szám pontosan akkor négyzetszám, ha 9-szerese, vagyis $\displaystyle (10^n-1)(10^na+b)$ is négyzetszám. Jelöljük $\displaystyle d$-vel a két tényező legnagyobb közös osztóját. Mivel $\displaystyle 10^na+b=a(10^n-1)+(a+b)$, ez megegyezik $\displaystyle 10^n-1$ és $\displaystyle a+b$ legnagyobb közös osztójával. Minthogy $\displaystyle a,b\le 9$, látszik, hogy $\displaystyle d\le 18$. Mivel pedig $\displaystyle d\mid 10^n-1$, sem a 2, sem az 5 nem lehet osztója $\displaystyle d$-nek. Ezért $\displaystyle d\in\{1,3,7,9,11,13,17\}$.

A feltétel szerint

$\displaystyle \frac{10^n-1}{d}\cdot\frac{10^na+b}{d}$

négyzetszám, és itt a két tényező egymáshoz relatív prím, vagyis mindekettő teljes négyzet. Ezért $\displaystyle 10^n-1=dv^2$ teljesül alkalmas $\displaystyle v$ egész számmal. Nyilván $\displaystyle v$ páratlan, ezért $\displaystyle v^2$ néggyel osztva 1 maradékot ad. Mivel $\displaystyle 10^n-1$ néggyel osztva 3 maradékot ad, $\displaystyle d$ is 3 maradékot kell adjon, vagyis $\displaystyle d\in \{3,7,11\}$. Másrészt $\displaystyle v$ nem osztható 5-tel, ezért $\displaystyle v^2$ öttel osztva 1 vagy 4 maradékot ad. Mivel $\displaystyle 10^n-1$ öttel osztva 4 maradékot ad, $\displaystyle d$ is 1 vagy 4 maradékot kell adjon öttel osztva. Ezért $\displaystyle d$ csakis 11 lehet. Ekkor $\displaystyle dv^2$ nyolccal osztva 3 maradékot ad, vagyis $\displaystyle n$ értéke nem lehet 2-nél nagyobb. Megállapíthatjuk tehát, hogy $\displaystyle n=2$ és $\displaystyle a+b=11$. Ebben az esetben a feltétel szerint $\displaystyle 9(9a+1)$, és így $\displaystyle 9a+1$ is négyzetszám, vagyis $\displaystyle a=7$, $\displaystyle b=4$. Mivel pedig $\displaystyle 7744=88^2$, a keresett számok a következők: 16, 25, 36, 49, 64, 81 és 7744.

Statistics:

72 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Beke Lilla, Boda Regina, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Jenei Tamás, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Kovács 888 Adrienn, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Weisz Ágoston, Zelena Réka.

4 points: Milánkovich Dorottya, Tóth 222 Barnabás, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zempléni Réka, Zsakó András.

3 points: 3 students.

2 points: 16 students.

1 point: 3 students.

0 point: 6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

72 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Beke Lilla, Boda Regina, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Jenei Tamás, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Kovács 888 Adrienn, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
4 points:	Milánkovich Dorottya, Tóth 222 Barnabás, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zempléni Réka, Zsakó András.
3 points:	3 students.
2 points:	16 students.
1 point:	3 students.
0 point:	6 students.

Already signed up?
New to KöMaL?