Problem B. 4219. (November 2009)

B. 4219. Let \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\) be different lines in the space, such that if any line \(\displaystyle e\) in the space that has common points with both \(\displaystyle f\) and \(\displaystyle g\) than also has a common point with \(\displaystyle h\). What can be stated about the mutual position of the lines \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\)?

Suggested by G. Mészáros, Kemence

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A három egyenes közül bármely kettőnek legfeljebb egy közös pontja lehet. Válasszünk ki az \(\displaystyle f\) egyenesen egy \(\displaystyle P_1\) pontot, amely nem illeszkedik a másik két egyenesre. Nézzük az összes egyenest, amely áthalad \(\displaystyle P_1\)-en és \(\displaystyle g\) valamely pontján, minden ilyen egyenes tartalmazza \(\displaystyle h\)-nak egy pontját. Két ilyen egyenesnek csak \(\displaystyle P_1\) lehet közös pontja, ami nem illeszkedik \(\displaystyle h\)-ra, vagyis a két egyenes \(\displaystyle h\)-nak két különböző pontját tartalmazza. Mivel mindkét egyenes beleesik a \(\displaystyle P_1\) pont és a \(\displaystyle g\) egyenes által meghatározott \(\displaystyle S_1\) síkba, \(\displaystyle h\)-nak is ebben a síkban kell elhelyezkednie. Az \(\displaystyle f\) egyenes egy másik hasonló tulajdonságú \(\displaystyle P_2\) pontjából kiindulva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle h\) beleesik a \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle g\) által meghatározott \(\displaystyle S_2\) síkba is. Mind az \(\displaystyle S_1\), mind az \(\displaystyle S_2\) sík tartalmazza tehát az egymástól különböző \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket, vagyis \(\displaystyle S_1=S_2\). Mivel ez a sík az \(\displaystyle f\) egyenesnek két különböző pontját is tartalmazza, azt kaptuk, hogy a három egyenes egy síkban helyezkedik el.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenes a \(\displaystyle P\) pontban metszi egymást. Ha \(\displaystyle P\) nem illeszkedik \(\displaystyle h\)-ra, akkor a \(\displaystyle P\)-re illeszkedő, \(\displaystyle h\)-val párhuzamos \(\displaystyle e\) egyenesnek \(\displaystyle f\)-fel és \(\displaystyle g\)-vel van közös pontja, \(\displaystyle h\)-val azonban nincs. Ez tehát nem lehet, a \(\displaystyle h\) egyenesnek is át kell haladnia a \(\displaystyle P\) ponton. Ekkor azonban sem \(\displaystyle f\), sem \(\displaystyle g\) nem lehet párhuzamos \(\displaystyle h\)-val, vagyis bármely, az egyenesek síkjában fekvő, \(\displaystyle h\)-val párhuzamos \(\displaystyle e\ne h\) egyenes ismétcsak metszi \(\displaystyle f\)-et és \(\displaystyle g\)-t is, a feltételekkel ellentétben.

Ezek szerint az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenes mindenképpen párhuzamos egymással. Ha \(\displaystyle h\) metszené ezeket, akkor ugyanúgy ellentmondásra jutnánk. Ha viszont \(\displaystyle h\) párhuzamos ezekkel, akkor bármely \(\displaystyle f\)-et és \(\displaystyle g\)-t is metsző \(\displaystyle e\) egyenesnek bele kell esnie az egyenesek közös síkjába, és ezért \(\displaystyle h\)-t is metszenie kell. Vagyis az egyenesek egysíkúak és párhuzamosak.

Statistics:

69 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Balási Szabolcs, Beke Lilla, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Korondi Zénó, Réti Dávid, Sieben Bertilla, Uray Marcell János, Varga Vajk.
3 points:	Bunth Gergely, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Keresztfalvi Tibor, Kunos Vid, Medek Ákos, Morapitiye Sunil, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Szabó 124 Zsolt, Szabó 928 Attila, Varnyú József, Végh János, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zilahi Tamás, Zsakó András.
2 points:	12 students.
1 point:	15 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009