Problem B. 4221. (November 2009)
B. 4221. Let a denote the side of the regular polygon of 18 sides inscribed in a circle of radius r. Show that a3+r3=3ar2.
(4 pont)
Deadline expired on December 10, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kör középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok a sokszöget 18 darab olyan egyenlő szárú háromszögre bontják, melyeknek alapja \(\displaystyle a\), szára \(\displaystyle r\) hosszúságú, csúcsszöge pedig \(\displaystyle 20^\circ\). Ezért \(\displaystyle a=2r\sin10^\circ\), a bizonyítandó állítás pedig \(\displaystyle r^3\)-nal történő leosztás után \(\displaystyle 8\sin^310^\circ+1=6\sin10^\circ\) alakra hozható. Mivel az addíciós képletek és a trigonometrikus Pithagorasz-tétel szerint
\(\displaystyle \sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha= 3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\)
látható, hogy \(\displaystyle 6\sin10^\circ-8\sin^310^\circ=2\sin30^\circ=1\), amint azt bizonyítani kívántuk.
Statistics:
128 students sent a solution. 4 points: 102 students. 3 points: 4 students. 2 points: 18 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009