Problem B. 4229. (December 2009)

B. 4229. In the parallelogram ABCD, 2BD²=BA²+BC². Show that the circumscribed circle of triangle BCD goes through one of the points that trisect the diagonal AC.

(Suggested by L. Koncz, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismeretes, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalainak négyzetösszegével; ez könnyen igazolható pl. a koszinusz-tétel segítségével. Ezért

\(\displaystyle AC^2+BD^2=2(BA^2 + BC^2)=4BD^2,\)

ahonnan \(\displaystyle AC^2=3BD^2\), \(\displaystyle AC=\sqrt{3}BD\). Legyen a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AC\) szakaszok közös felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). Ekkor \(\displaystyle 3FH=FC=\sqrt{3}FB=\sqrt{3}FD\) miatt \(\displaystyle FC:FB=FD:FH=\sqrt{3}\), vagyis az \(\displaystyle FCB\) háromszög hasonló az \(\displaystyle FDH\) háromszöghöz. Ezért a \(\displaystyle HB\) szakasz a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokból ugyanakkora szög alatt látszik, vagyis a \(\displaystyle H,B,C,D\) pontok, ebben a sorrendben, egy körre illeszkednek. Ez bizonyítja az állítást.

Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:	Árvay Balázs, Bauer Barbara, Beke Lilla, Béres Ferenc, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Csörgő András, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Nemecskó István, Németh 217 Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Tóth 419 Péter, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Veres Andrea, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009