Problem B. 4266. (April 2010)

B. 4266. Let a₁, a₂, a₃, a₄ denote four consecutive elements in a row of Pascal's triangle. Prove that the numbers $\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}$ , $\frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}$ , $\frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}$ form an arithmetic progression.

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög $\displaystyle n$-edik sorában vesszük az egymást követő $\displaystyle a={n\choose k}$ és $\displaystyle b={n\choose k+1}$ elemeket, akkor

$\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.$

Ezért ha $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$ a Pascal-háromszög $\displaystyle n$-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája $\displaystyle \frac{1}{n+1}$.

Statistics:

86 students sent a solution.

3 points: 81 students.

2 points: 4 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

86 students sent a solution.
3 points:	81 students.
2 points:	4 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?