Problem B. 4276. (May 2010)

B. 4276. Show that an altitude of a triangle cannot be longer than the geometric mean of the radii of the excircles touching the two adjacent sides of the triangle.

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle m_c^2\le R_aR_b\) egyenlőtlenséget igazolni, ahol \(\displaystyle m_c\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB=c\) oldalához tartozó magasságát, \(\displaystyle R_a\) és \(\displaystyle R_b\) pedig a \(\displaystyle BC=a\), illetve \(\displaystyle AC=b\) oldalakhoz hozzáírt körök sugarát jelöli. Szokás szerint a háromszög területét jelölje \(\displaystyle t\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületének felét pedig \(\displaystyle s\). Mivel az \(\displaystyle A\) csúcs, a beírt kör középpontja és az \(\displaystyle a\) oldalhoz hozzáírt kör középpontja egyaránt az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőn helyezkedik el, továbbá e két kör az \(\displaystyle AB\) félegyenest az \(\displaystyle A\) csúcstól \(\displaystyle s-a\), illetve \(\displaystyle s\) távolságban érinti, \(\displaystyle R_a:r=s:(s-a)\), és hasonlóképpen \(\displaystyle R_b:r=s:(s-b)\). Ezért \(\displaystyle rs=t=cm_c/2\) miatt

\(\displaystyle \frac{R_aR_b}{m_c^2}=\frac{r^2s^2}{(s-a)(s-b)m_c^2}=\frac{c^2}{4(s-a)(s-b)}=\frac{c^2}{c^2-(a-b)^2}\ge 1.\)

Tehát valóban \(\displaystyle R_aR_b\ge m_c^2\), egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle a=b\).

Statistics:

57 students sent a solution.
4 points:	55 students.
3 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010