Problem B. 4278. (May 2010)

B. 4278. Solve the simultaneous equations x+y=a, tan x^.tan y=b, where a and b are real parameters.

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle b=1\), akkor \(\displaystyle \tg x\ne 0\) és \(\displaystyle y=\frac{(2k+1)\pi}{2}-x\) teljesül alkalmas \(\displaystyle k\) egész számmal, vagyis \(\displaystyle a=\frac{(2k+1)\pi}{2}\). Megfordítva, ha \(\displaystyle a=\frac{2k+1)\pi}{2}\) teljesül alkalmas \(\displaystyle k\) egész számmal és \(\displaystyle \tg x\), \(\displaystyle \tg y\) is értelmes, akkor \(\displaystyle \tg x\cdot \tg y=1\) és ezért \(\displaystyle b=1\). Ennek alapján, ha \(\displaystyle b=1\), \(\displaystyle a\) pedig \(\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{2}\) alakú, akkor az egyenletrendszer összes megoldása az olyan \(\displaystyle (x,y)\) párokból áll, ahol \(\displaystyle x\) \(\displaystyle \pi/2\)-nek nem egész számú többszöröse és \(\displaystyle y=a-x\). Ha pedig \(\displaystyle b=1\), de \(\displaystyle a\) nem \(\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{2}\) alakú, vagy ugyan az \(\displaystyle a\) szám \(\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{2}\) alakú, de \(\displaystyle b\ne 1\), akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Tegyük fel végül, hogy \(\displaystyle b\ne 1\), és \(\displaystyle a\ne \frac{(2k+1)\pi}{2}\) semmilyen \(\displaystyle k\) egész számra. Ekkor \(\displaystyle \tg a\) értelmes és

\(\displaystyle \tg a=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\cdot\tg y},\quad \hbox{vagyis} \quad \tg x+\tg y=(1-b)\tg a.\)

Az \(\displaystyle u=\tg x\), \(\displaystyle v=\tg y\) számokat tehát a \(\displaystyle z^2-(1-b)\tg a\cdot z+b=0\) másodfokú egyenlet megoldásai szolgáltatják. Ezért \(\displaystyle \tg^2a<4b/(1-b)^2\) esetén az egyenletrendszernek nincsen megoldása, egyébként pedig a megoldások

\(\displaystyle x=\arctg\frac{(1-b)\tg a\pm\sqrt{(1-b)^2\tg^2a-4b}}{2}+k\pi,\quad y=a-x,\)

ahol \(\displaystyle k\) végigfut az egész számok halmazán.

Statistics:

36 students sent a solution.
3 points:	Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Csizmadia Luca, Éles András, Hegedűs Csaba, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter, Zahemszky Péter.
2 points:	Balog Dóra, Csere Kálmán, Csuka Róbert, Énekes Péter, Kiss 902 Melinda Flóra, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Sagmeister Ádám, Sieben Bertilla, Szabó 208 Márk, Szabó 928 Attila, Vajk Dóra, Varga Vajk, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zsakó András.
1 point:	8 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010