Problem B. 4279. (May 2010)

B. 4279. Is it true that if the sum of distances of any interior point of a tetrahedron from the faces is constant, then the tetrahedron is regular?

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy belső pontnak az \(\displaystyle a,b,c,d\) lapoktól vett távolságát jelölje rendre \(\displaystyle m_a,m_b,m_c,m_d\), az egyes lapok területét \(\displaystyle t_a,t_b,t_c,t_d\). Ekkor a tetraéder térfogata

\(\displaystyle V=\frac{m_at_a+m_bt_b+m_ct_c+m_dt_d}{3}.\)

Amennyiben minden lap területe ugyanannyi, mondjuk \(\displaystyle t\), akkor innen

\(\displaystyle m_a+m_b+m_c+m_d=\frac{3V}{t}\)

adódik. Ezek szerint minden olyan tetraéderre, amelynek lapjai egybevágók, teljesül az a feltétel, hogy bármely belső pontnak az oldallapoktól vett távolságösszege állandó.

Ilyen tetraédereket könnyen megadhatunk a következő módszerrel. Egy rögzített szakasz \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) végpontján át vegyük fel a szakaszra és egymásra is merőleges \(\displaystyle e\), illetve \(\displaystyle f\) egyeneseket. Legyen adott egy tetszőleges \(\displaystyle d\) távolság. Az \(\displaystyle e\) egyenesen vegyük fel az \(\displaystyle E\)-től \(\displaystyle d\) távolságra lévő \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokat, az \(\displaystyle f\) egyenesen hasonlóképpen az \(\displaystyle F\)-től \(\displaystyle d\) távolságra lévő \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat. Ekkor az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder bármely két lapja egymással egybevágó egyenlőszárú háromszög lesz. Világos, hogy a kapott tetraéder csak egyetlen \(\displaystyle d\) érték esetén lesz szabályos, vagyis a feladatban megfogalmazott állítás nem igaz.

Statistics:

35 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dunay Luca, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hegedűs Csaba, Herczeg József, Janzer Olivér, Keresztfalvi Tibor, Márkus Bence, Medek Ákos, Mészáros András, Nagy Róbert, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weimann Richárd.
3 points:	Csuka Róbert, Jernei Tamás, Kacz Dániel, Vuchetich Bálint.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010