Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4292. (October 2010)

B. 4292. The feet of the perpendiculars dropped from vertex C of triangle ABC onto the interior angle bisectors from vertices A and B are E and F, respectively. The inscribed circle of the triangle touches side AC at point D. Prove that EF=CD.

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szögfelezők a háromszögbe írható kör \(\displaystyle O\) középpontjában metszik egymást. Az \(\displaystyle AOB\), \(\displaystyle BOC\), \(\displaystyle COA\) szögek nagysága rendre

\(\displaystyle \pi-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\pi+\gamma}{2},\ \frac{\pi+\alpha}{2},\ \frac{\pi+\beta}{2}.\)

Ezért \(\displaystyle COE\) és \(\displaystyle COF\) szög is hegyesszög, továbbá

\(\displaystyle EOF\sphericalangle=AOB\sphericalangle=\frac{\pi+\gamma}{2}\)


\(\displaystyle COD\sphericalangle=\frac{\pi-\gamma}{2}=\pi-EOF\sphericalangle=ECF\sphericalangle.\)

Mivel a \(\displaystyle CDO, CEO\) és \(\displaystyle CFO\) szög is derékszög, a \(\displaystyle D,E,F\) pontok a \(\displaystyle CO\) átmérőjű körön helyezkednek el. Ebben a körben a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) húrhoz egyaránt \(\displaystyle \frac{\pi-\gamma}{2}\) nagyságú kerületi szög tartozik, vagyis a két húr valóban ugyanolyan hosszú.


90 students sent a solution.
3 points:60 students.
2 points:22 students.
1 point:3 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010