Problem B. 4319. (December 2010)

B. 4319. A triangle is drawn on a rectangular sheet of paper. Unfortunately, the vertices are off the sheet, but there is a segment of each side that lies on the sheet. Given that the orthocentre of the triangle is on the sheet, find the orthocentre by doing construction on the sheet.

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A téglalap egy tetszőleges \(\displaystyle P\) belső pontjából kicsinyítsük felére a háromszöget úgy, hogy a látható oldalszakaszokat felére kicsinyítjük, majd az így kapott szakaszokat meghosszabbítjuk. Ha a háromszög még mindig nem fér rá a papírra, akkor ismételjük meg az eljárást még néhányszor egészen addig, amíg az \(\displaystyle 1:2^k\) arányban lekicsinyített háromszög végül teljes egészében rá nem fér a papírlapra. Mivel az eredeti háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontja a papíron volt, a kis háromszög \(\displaystyle M'\) magasságpontja is a papírlapon lesz, hiszen a \(\displaystyle PM\) szakasznak arról a pontjáról van szó, amelyre \(\displaystyle PM'=PM/2^k\). Megkülönböztetve a hegyes-, illetve a tompaszögű eseteket, könnyen meggondolható, hogy a kis háromszöget használva az \(\displaystyle M'\) pont megszerkeszthető az ismert eljárással úgy, hogy az egész szerkesztési eljárás a papírlap keretein belül zajlik. Ezután pedig az \(\displaystyle M'\) pontot \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle 2^k:1\) arányban nagyítva megkapjuk az \(\displaystyle M\) pontot.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	Beke Lilla, Beleznay Soma, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Dankovics Viktor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Frittmann Júlia, Hartvig 147 Dániel, Herczeg József, Kenéz Balázs, Kiss 542 Robin, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lezsák Gábor, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Solti Bálint, Szabó 928 Attila, Takács 737 Gábor, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:	Ádám Liliána, Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Bősze Zsuzsanna, Csörgő András, Énekes Péter, Hajnal Máté, Halmosi Bence, Kecskés Boglárka, Scharle Csilla, Szende Tamás, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Trócsányi Péter, Varga 911 Szabolcs.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010