Problem B. 4323. (January 2011)
B. 4323. Solve the following equation: .
(3 pont)
Deadline expired on February 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle x=-1\). Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az
\(\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0\)
egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a \(\displaystyle -1\). Az \(\displaystyle y=x+\frac{1}{x}\) helyettesítést alkalmazva az egyenlet \(\displaystyle y^2-12y-20\) alakra hozható, melynek gyökei \(\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}\). Mivel \(\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2\), \(\displaystyle y=6-\sqrt{56}\) esetén az \(\displaystyle x^2-yx+1=0\) egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az
\(\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0\)
egyenletre redukáltuk, melynek megoldása
\(\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.\)
Statistics:
166 students sent a solution. 3 points: 88 students. 2 points: 45 students. 1 point: 21 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011