Problem B. 4331. (January 2011)

B. 4331. P is an interior point of a convex polygon $\mathit K$ . Prove that is it possible to find four lines on the plane such that for each side of $\mathit K$ there is a line among the four for which this side lies in one of the open half planes and P lies in the other open half plane formed by the line. Is the statement also true for only three lines instead of four?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a sokszög egy tetszőleges $\displaystyle s$ oldalszakaszát. Ha az $\displaystyle s$ szakaszt $\displaystyle P$-ből tetszőleges $\displaystyle 0<\lambda<1$ arányban lekicsinyítjük, az így kapott szakasz meghosszabbításával nyert egyenes elválasztja $\displaystyle P$-t az $\displaystyle s$ szakasztól a feladat szövegében megfogalmazott módon. Más szóval, $\displaystyle \mathcal K$ bármely oldalszakasza elválasztható $\displaystyle P$-től egy alkalmas egyenes segítségével.

Válasszunk ki most egy olyan $\displaystyle e$ egyenest, amely illeszkedik $\displaystyle P$-re, de nem halad át a $\displaystyle \mathcal K$ sokszög egyetlen csúcsán sem. Ilyen egyenes létezik, hiszen a végtelen sok $\displaystyle P$-n áthaladó egyenes közül csak véges sokat zártunk ki. Jelölje $\displaystyle d>0$ a sokszög csúcsainak $\displaystyle e$-től vett minimális távolságát. Az $\displaystyle e$ egyenes $\displaystyle \mathcal K$-nak pontosan két oldalszakaszát metszi. Ezeket egy-egy alkalmas egyenes segítségével elválaszthatjuk $\displaystyle P$-től. Az összes további oldalszakaszra igaz, hogy bármelyikük teljes egészében $\displaystyle e$ valamelyik oldalára esik, ezek elválasztásához pedig elegendő két további egyenes. Vegyünk fel ugyanis $\displaystyle e$ mindkét oldalán egy-egy olyan $\displaystyle e$-vel párhuzamos egyenest, amelynek távolsága $\displaystyle e$-től kisebb, mint $\displaystyle d$. A két egyenes által határolt zárt sáv tehát nem tartalmazza $\displaystyle \mathcal K$ egyetlen csúcsát sem. Ez pedig azt jelenti, hogy ha a sokszög valamely $\displaystyle s$ oldalszakasza teljes egészében $\displaystyle e$-nek valamelyik oldalára esett, akkor a két új egyenesnek is teljes egészében ugyanarra az oldalára fog esni. A két új egyenes közül az egyik tehát elválasztja az $\displaystyle s$ szakaszt $\displaystyle P$-től.

Három egyenes viszont nem mindig adható meg a kívánt módon. Legyen például $\displaystyle \mathcal K$ egy négyzet, melynek $\displaystyle P$ a középpontja. Ha egy nyílt félsík a négyzetnek két oldalszakaszát is tartalmazza, akkor két szemközti csúccsal együtt tartalmaznia kell az általuk meghatározott átlót, és ezzel együtt a $\displaystyle P$ pontot is. Ez éppen azt jelenti, hogy bármely egyenes $\displaystyle \mathcal K$-nak legfeljebb egy oldalszakaszát választhatja el $\displaystyle P$-től, vagyis legalább négy egyenesre van szükség.

Statistics:

38 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Beke Lilla, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Lenger Dániel, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Simig Dániel, Szende Tamás, Tatár Dániel, Vajda Balázs, Viharos Andor, Weisz Gellért.

4 points: Bogár Blanka, Czipó Bence, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Kiss 666 Péter, Neukirchner Elisabeth, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Zilahi Tamás.

3 points: 4 students.

2 points: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

38 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Beke Lilla, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Lenger Dániel, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Simig Dániel, Szende Tamás, Tatár Dániel, Vajda Balázs, Viharos Andor, Weisz Gellért.
4 points:	Bogár Blanka, Czipó Bence, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Kiss 666 Péter, Neukirchner Elisabeth, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Zilahi Tamás.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?