Problem B. 4337. (February 2011)
B. 4337. Find all real numbers p such that the equation x3-7x+p=0 has two real roots whose difference is 1.
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b=a+1\) valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az \(\displaystyle x^3-7x+p\) polinomból az \(\displaystyle x-a\) és \(\displaystyle x-b\) gyöktényező is kiemelhető, vagyis
\(\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)\)
teljesül alkalmas \(\displaystyle c\) valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében
\(\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.\)
Az első összefüggés alapján \(\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)\). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve
\(\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.\)
Az így kapott \(\displaystyle a^2+a-2=0\) másodfokú egyenlet két megoldása \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=-2\). Az ezekhez tartozó \(\displaystyle b,c\) értékek \(\displaystyle b_1=2\), \(\displaystyle c_1=-3\), illetve \(\displaystyle b_2=-1\), \(\displaystyle c_2=3\). Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő \(\displaystyle p\) értékekre \(\displaystyle p_1=6\), illetve \(\displaystyle p_2=-6\) adódik.
Statistics:
129 students sent a solution. 4 points: 110 students. 3 points: 8 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011