Problem B. 4340. (February 2011)

B. 4340. Prove that the following inequality is true for all positive numbers a₁,a₂,...,a_n.

$\left(\frac{a_1}{a_2+\dots+a_n}\right)^2+\left(\frac{a_2}{a_3+\dots+a_1}\right)^2+\ldots + \left(\frac{a_n}{a_1+\dots+a_{n-1}}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}.$

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen $\displaystyle x_i=\frac{a_i}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$, $\displaystyle y_i=1-x_i$; ekkor minden $\displaystyle i$-re $\displaystyle 0<x_i<1$, és így $\displaystyle 0<y_i<1$ is teljesül, továbbá $\displaystyle x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ miatt $\displaystyle y_1+y_2+\ldots+y_n=n-1$. A bizonyítandó

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}$

egyenlőtlenséget írjuk át

$\displaystyle \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2}{n}}\ge \frac{1}{{n-1}}$

alakra. A bal oldalon a pozitív $\displaystyle x_i/y_i$ számok négyzetes közepe áll, ami legalább akkora, mint ugyanezen számok számtani közepe. Elegendő tehát a

$\displaystyle {{\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i}}} \ge \frac{n}{{n-1}}$

egyenlőtlenséget igazolni. Mivel $\displaystyle \frac{x_i}{y_i}=\frac{1-y_i}{y_i}= \frac{1}{y_i}-1$, ez ekvivalens a

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}\ge \frac{n}{{n-1}}+n=\frac{n^2}{n-1}$

egyenlőtlenséggel. A számtani és harmonikus közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint azonban

$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}}{n}\ge \frac{n}{\sum_{i=1}^n y_i} =\frac{n}{n-1},$

ahonnan a fenti egyenlőtlenség már közvetlenül leolvasható. A bizonyításból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha $\displaystyle y_1=y_2=\ldots=y_n$, vagyis pontosan az $\displaystyle a_1=a_2=\ldots=a_n$ esetben.

Statistics:

36 students sent a solution.

5 points: Bauer Barbara, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Freud Edvin, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Halász Dániel, Kabos Eszter, Kapronczay Mór, Köpenczei Gergő, Magyari Ábel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Varjú János, Veres Andrea, Viharos Andor, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.

4 points: Varga Zoltán Attila.

3 points: 2 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

36 students sent a solution.
5 points:	Bauer Barbara, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Freud Edvin, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Halász Dániel, Kabos Eszter, Kapronczay Mór, Köpenczei Gergő, Magyari Ábel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Varjú János, Veres Andrea, Viharos Andor, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.
4 points:	Varga Zoltán Attila.
3 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?