Problem B. 4343. (March 2011)
B. 4343. Let a and b denote positive numbers such that a3+b3=1. Show that a2+ab+b2-a-b>0.
(Suggested by J. Pataki, Budapest)
(4 pont)
Deadline expired on April 11, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feltételek miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) 1-nél kisebb pozitív számok. Hozzuk az egyenlőtlenséget \(\displaystyle b^2>(1-a)(a+b)\) alakra. Ez ekvivalens a \(\displaystyle b^3>(1-a)(a+b)b\) egyenlőtlenséggel. Felhasználva, hogy \(\displaystyle b^3=1-a^3\), a pozitív \(\displaystyle 1-a\) mennyiséggel leosztva az eredetivel ekvivalens \(\displaystyle a^2+a+1>(a+b)b\) egyenlőtlenséget kapjuk. Ez pedig nyilván teljesül, hiszen \(\displaystyle a^2+a>a>ab\) és \(\displaystyle 1>b^2\).
Statistics:
84 students sent a solution. 4 points: 55 students. 3 points: 11 students. 2 points: 3 students. 1 point: 6 students. 0 points: 8 students. irregular: 1 script.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011