Problem B. 4346. (March 2011)

B. 4346. Given a convex pentagon, construct a line that halves its area.

(Suggested by T. Horváth, (Dunakeszi)

(3 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sokszög kerületének bármely pontján át pontosan egy ilyen egyenes húzható, a feladatnak tehát végtelen sok megoldása van. Itt egy olyan szerkesztési eljárást mutatunk be, amely az \(\displaystyle ABCDE\) konvex ötszög \(\displaystyle E\) csúcsán áthaladó egyenest szolgáltat. Az \(\displaystyle AB, BC, CD\) szakaszok hossza legyen rendre \(\displaystyle a,b,c\), az \(\displaystyle ABE, BCE, CDE\) háromszögek \(\displaystyle AB, BC, CD\) alaphoz tartozó magassága pedig rendre \(\displaystyle m_a, m_b, m_c\). Ekkor a háromszögek területe rendre \(\displaystyle \frac{am_a}{2}, \frac{bm_b}{2}, \frac{cm_c}{2}\); ezek összegét kell megfelezni.

A párhuzamos szelők tételére alapuló jól ismert eljárással szerkesszünk olyan \(\displaystyle a',c'\) hosszúságú szakaszokat, hogy \(\displaystyle am_a=a'm_b\), illetve \(\displaystyle cm_c=c'm_b\) teljesüljön. Ezután a \(\displaystyle BC\) egyenesen vegyük fel az \(\displaystyle A', C'\) pontokat úgy, hogy a pontok \(\displaystyle A', B, C, D'\) sorrendben kövessék egymást, és \(\displaystyle A'B=a'\), \(\displaystyle CD'=c'\) teljesüljön. Ekkor az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle CDE\) háromszögek területe rendre megegyezik az \(\displaystyle A'BE\) és \(\displaystyle CD'E\) háromszögek területével, vagyis az \(\displaystyle A'D'E\) háromszög területe megegyezik az \(\displaystyle ABCDE\) ötszögével.

Ennek a háromszögnek a területét felezi az \(\displaystyle EF\) egyenes, ahol \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle A'D'\) szakasz felezőpontja. Ha \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) szakaszra esik, akkor készen is vagyunk. Ha pedig \(\displaystyle F\) (mondjuk) az \(\displaystyle A'B\) szakaszra esik, akkor az \(\displaystyle ABE\) háromszög területét olyan arányban kell elosztanunk, ahogy az \(\displaystyle EF\) egyenes osztja el az \(\displaystyle A'BE\) háromszögét, vagyis azt az \(\displaystyle EF'\) egyenest kell megszerkesztenünk, ahol \(\displaystyle F'\) az \(\displaystyle AB\) szakasznak azon pontja, amelyre \(\displaystyle AF':F'B=A'F:FB\) teljesül. Az \(\displaystyle F'\) pontot ismét csak a párhuzamos szelők tételére hivatkozva úgy tudjuk megszerkeszteni, hogy az \(\displaystyle AA'\) szakasszal párhuzamosan egyenest húzunk \(\displaystyle F\)-en keresztül, és azzal elmetsszük az \(\displaystyle AB\) szakaszt.

Statistics:

35 students sent a solution.
3 points:	Ágoston Péter, Antal Dóra, Bálint Csaba, Baráti László, Barczel Nikolett, Bősze Zsuzsanna, Győrfi 946 Mónika, Hopp Norbert, Müller Adrienn, Nemecskó István, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Tossenberger Tamás, Wiandt Zsófia, Zelena Réka.
2 points:	Ádám Anna Kinga, Beleznay Soma, Énekes Tamás, Maga Balázs, Medek Ákos, Sagmeister Ádám, Tekeli Tamás, Vajk Dóra, Viharos Andor, Weisz Ambrus.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011