Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

Problem B. 4353. (April 2011)

B. 4353. Let A be a positive integer, and let B denote the number obtained by writing the digits of A in reverse order. Show that at least one of the numbers A+B and A-B is divisible by 11.

(Suggested by J. Mészáros, Jóka)

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek $\displaystyle A$ számjegyei $\displaystyle a_n, a_{n-1},\ldots, a_0$; ekkor $\displaystyle A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+a_0$ és $\displaystyle B=10^na_0+\ldots+10a_{n-1}+a_n$. Ha $\displaystyle n$ páratlan, akkor az

$\displaystyle A+B=\sum_{i=0}^n(10^i+10^{n-i})a_i$

összeg minden tagja osztható $\displaystyle 11$-gyel, hiszen $\displaystyle i<n/2$ esetén

$\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{i}(10^{n-2i}+1),$

ahol $\displaystyle n-2i$ páratlan lévén $\displaystyle 10+1\mid 10^{n-2i}+1$, $\displaystyle i>n/2$ esetén pedig

$\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}+1),$

ahol $\displaystyle 10+1\mid 10^{2i-n}+1$, hiszen $\displaystyle 2i-n$ páratlan. Ezért ilyenkor $\displaystyle A+B$ osztható 11-gyel.

Hasonlóképpen, ha $\displaystyle n$ páros, akkor $\displaystyle n-2i$ és $\displaystyle 2i-n$ is páros, így az

$\displaystyle A-B=\sum_{i=0}^n(10^i-10^{n-i})a_i$

szám 11-gyel való osztatósága leolvasható a

$\displaystyle 10^i-10^{n-i}=-10^{i}(10^{n-2i}-1)\qquad (i< n/2),$

illetve a

$\displaystyle 10^i-10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}-1)\qquad (i\ge n/2)$

átalakításokról.

Statistics:

 118 students sent a solution. 3 points: 87 students. 2 points: 16 students. 1 point: 7 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011