Problem B. 4358. (April 2011)

B. 4358. Solve the following equation: $\big(11x^3 + 80\big)\root3\of{x+11} + \big(x^3 - 92\big)\root3\of{92x-80} = 0$ .

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel sem $\displaystyle x=-11$, sem $\displaystyle x=\root{3}\of{92}$ nem megoldása az egyenletnek, az ekvivalens a

$\displaystyle \frac{11x^3+80}{92-x^3}=\root{3}\of{\frac{92x-80}{x+11}}$

egyenlettel. Tekintsük az

$\displaystyle f(x)=x^3,\quad \phi(x)=\root{3}\of{x},\quad g(x)=x-1,\quad \chi(x)=x+1,$

$\displaystyle h(x)=\frac{11x+91}{91-x},\quad \psi(x)=\frac{91x-91}{x+11} =91-\frac{12\cdot91}{x+11}$

függvényeket, ekkor

$\displaystyle F(x)=\frac{11x^3+80}{92-x^3}=h(g(f(x)))\quad \hbox{\rm \'es}\quad \Phi(x)=\root{3}\of{\frac{92x-80}{x+11}}=\phi(\chi(\psi(x))).$

A szigorúan monoton növekedő $\displaystyle f$ és $\displaystyle \phi$ függvények egymás inverzei, melyek kölcsönösen egyértelmű módon képezik a valós számok $\displaystyle \bf R$ halmazát az $\displaystyle \bf R$ halmazra. Hasonló állítás igaz a $\displaystyle g$ és $\displaystyle \chi$ függvényekre. Végül a $\displaystyle h$ és $\displaystyle \psi$ függvények is egymás inverzei. Itt a $\displaystyle \psi$ függvény az $\displaystyle {\bf R}\setminus\{-11\}$ halmazt képezi kölcsönösen egyértelmű módon az $\displaystyle {\bf R}\setminus\{91\}$ halmazra úgy, hogy mind a $\displaystyle (-\infty,-11)$, mind a $\displaystyle (-11,+\infty)$ intervallumon szigorúan monoton növekedő. Mindezekből következik, hogy az $\displaystyle F$ és $\displaystyle \Phi$ függvények is egymás inverzei, ahol a $\displaystyle \Phi$ függvény az $\displaystyle {\bf R}\setminus\{-11\}$ halmazt képezi kölcsönösen egyértelmű módon az $\displaystyle {\bf R}\setminus\{\root(3)\of{92}\}$ halmazra úgy, hogy mind a $\displaystyle (-\infty,-11)$, mind a $\displaystyle (-11,+\infty)$ intervallumon szigorúan monoton növekedő.

A feladat tehát a $\displaystyle \Phi(x)=F(x)$ egyenlet megoldása, amely a fentiek miatt ekvivalens a $\displaystyle \Phi(\Phi(x))=x$ egyenlettel. Keressük meg először a $\displaystyle \Phi(x)=x$, vagy a vele ekvivalens $\displaystyle F(x)=x$ egyenlet megoldásait. Ez felszorzás után az $\displaystyle x^4+11x^3-92x+80$ negyedfokú egyeneletre vezet, melynek megoldásai $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=2$, $\displaystyle x=-4$ és $\displaystyle x=-10$; ezek nyilván kielégítik a $\displaystyle \Phi(\Phi(x))=x$ egyenletet is.

A továbbiakban megmutatjuk, hogy az egyenletnek nincsen ezektől különböző megoldása. A $\displaystyle \Phi$ függvény a $\displaystyle (-10,-4)$, a $\displaystyle (-4,1)$ és az $\displaystyle (1,2)$ intervallumokat kölcsönösen egyértelmű és szigorúan növekedő módon saját magukra képezi, a $\displaystyle (-\infty,-11)$, $\displaystyle (-11,-10)$ és $\displaystyle (2,+\infty)$ intervallumokat pedig hasonló módon rendre a $\displaystyle (\root{3}\of{92},+\infty)$, $\displaystyle (-\infty,-10)$, illetve $\displaystyle (2,\root{3}\of{92})$ intervallumokra. A $\displaystyle \Phi$ függvény ezen intervallumok mindegyikén folytonos, de sehol sem teljesül rá a $\displaystyle \Phi(x)=x$ egyenlőség. Ez azt jelenti, hogy a felsorolt intervallumok mindegyikének teljes hosszában vagy a $\displaystyle \Phi(x)<x$, vagy a $\displaystyle \Phi(x)>x$ egyenlőtlenség teljesül. Az első három intervallumon, mivel ezek saját magukra képződnek, ez maga után vonja a $\displaystyle \Phi(\Phi(x))<\Phi(x)<x$, illetve a $\displaystyle \Phi(\Phi(x))>\Phi(x)>x$ egyenlőtlenséget, vagyis $\displaystyle \Phi(\Phi(x))=x$ ezeken az intervallumokon biztosan nem teljesülhet. Hasonló a helyzet a hatodik intervallummal, mivel az saját magának egy részére képződik le. A negyedik intervallum elemeire $\displaystyle \Phi(x)$ és így $\displaystyle \Phi(\Phi(x))$ is a hatodik intervallumba kerül. Végül az ötödik intervallum egy $\displaystyle x$ elemére $\displaystyle \Phi(\Phi(x))$ csak úgy maradhat az ötödik intervallumban, ha $\displaystyle \Phi(x)$ is ott marad, ekkor tehát megintcsak használhatjuk az első három intervallum esetében alkalmazott érvelést.

Statistics:

30 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Boér Lehel, Bősze Zsuzsanna, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Homonnay Bálint, Maga Balázs, Máthé László, Perjési Gábor, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.

4 points: Zilahi Tamás.

3 points: 3 students.

2 points: 3 students.

1 point: 3 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011

30 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Boér Lehel, Bősze Zsuzsanna, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Homonnay Bálint, Maga Balázs, Máthé László, Perjési Gábor, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
4 points:	Zilahi Tamás.
3 points:	3 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?