Problem B. 4372. (September 2011)

B. 4372. Show that if there are three collinear points among any four selected from a set of n points then at least n-1 points are collinear.

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n\le 4\), akkor az állítás nyilvánvaló. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\ge 5\), és \(\displaystyle n-1\) esetén az állítást már beláttuk. Hagyjuk el a ponthalmaz egyik pontját. A fennmaradó \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazra a feltételek teljesülnek, tehát az indukciós feltevés alapján található benne egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle P\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Hagyjuk el most az eredeti ponthalmazból \(\displaystyle P\)-nek egy pontját. Az így kapott \(\displaystyle n-1\) elemű ponthalmazban is található egy \(\displaystyle n-2\) elemű \(\displaystyle Q\) részhalmaz, melynek pontjai egy egyenesre esnek. Mivel \(\displaystyle P\ne Q\), a \(\displaystyle P\cup Q\) halmaz legalább \(\displaystyle n-1\) elemű. Elég tehát megmutatni, hogy \(\displaystyle P\cup Q\) elemei egy egyenesre esnek.

Tegyük fel, hogy nem ez a helyzet, ekkor \(\displaystyle P\)-nek és \(\displaystyle Q\)-nak legfeljebb egy közös \(\displaystyle a\) eleme lehet. Ez kell is, hogy létezzen, hiszen \(\displaystyle |P\cap Q|\ge n-4\ge 1\). Mivel \(\displaystyle |P\setminus \{a\}|=|Q\setminus \{a\}|=n-3\ge 2\), létezik négy pont, \(\displaystyle b,c\in P\setminus \{a\}\) és \(\displaystyle d,e\in Q\setminus \{a\}\), melyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Ez azonban ellentmond a feltételeknek.

Statistics:

204 students sent a solution.
3 points:	152 students.
2 points:	28 students.
1 point:	15 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011