Problem B. 4393. (November 2011)

B. 4393. Consider the vertices of a regular triangle, the centre of the triangle and all points that divide its sides in a 1:2 ratio. What is the largest number of points that can be selected out the points listed above, such that no three of them form a regular triangle? (Suggested by

A. Demeter, Matlap, Kolozsvár

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha valamelyik oldalról megtartottuk mind a 4 pontot, akkor egyetlen további pontot sem tarthatunk meg. Ha valamelyik oldalról pontosan 3 pontot tartottunk meg, akkor szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy ezek az \(\displaystyle A,B,C\) vagy az \(\displaystyle A,B,D\) pontok. Az első esetben \(\displaystyle D\)-n kívül az \(\displaystyle E,F,H\) pontokat sem tarthatjuk meg, a \(\displaystyle G,I,J\) pontokat viszont igen. Tehát ebben az esetben 6 pont megtartható, de több nem. A másik esetben \(\displaystyle C\)-n kívül az \(\displaystyle E,I,J\) pontokat sem tarthatjuk meg, a \(\displaystyle G,H\) pontok közül pedig legfeljebb egyet tarthatunk meg, tehát összesen legfeljebb 5 pontot.

Most megmutatjuk, hogy úgy is csak legfeljebb 5 pontot tarthatunk meg, ha minden oldalról legfejebb kettőt tartunk meg, ami azt jelenti, hogy a feladat kérdésére legfeljebb hatot a helyes válasz. Ez nyilvánvaló, ha a megtartott pontok között két csúcs is szerepel, mert akkor az oldalakról összesen legfeljebb két további pont tartható meg. Az az eset is könnyen meggondolható, ha egyetlen csúcsot sem tartunk meg, ugyanis mind a \(\displaystyle C,E,I\), mind a \(\displaystyle B,G,H\) hármasból legfeljebb két pont tartható meg. Marad az az eset, amikor pontosan egy csúcsot tartunk meg, legyen ez \(\displaystyle J\), az \(\displaystyle A,D\) pontokat ekkor nem tarthatjuk meg. A \(\displaystyle H,I\) pontok közül legfeljebb egyet tarthatunk meg, az \(\displaystyle E,G\) pontok közül úgyszintén. Végül a \(\displaystyle B,C,F\) pontok közül legfeljebb kettő tartható meg, ami összesen valóban legfeljebb 5 pont megtartását jelenti.

Statistics:

213 students sent a solution.
4 points:	101 students.
3 points:	21 students.
2 points:	29 students.
1 point:	36 students.
0 point:	26 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011