Problem B. 4399. (November 2011)

B. 4399. A sack contains k red balls and n green balls. The balls are drawn out one by one, without replacement, until the first red ball is drawn. How many draws are needed on average?

Suggested by G. Maróti

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szóban forgó értéket jelölje \(\displaystyle E(k,n)\). Ha nincsen zöld golyó, akkor rögtön az első húzásra pirosat húzunk, vagyis \(\displaystyle E(k,0)=1\). Rögzített \(\displaystyle k\) mellett \(\displaystyle n\) szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy \(\displaystyle E(k,n)=\frac{k+n+1}{k+1}\). Láttuk, hogy \(\displaystyle n=0\) esetén ez igaz. Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle n\ge 1\), és azt már igazoltuk, hogy \(\displaystyle E(k,n-1)=\frac{k+n}{k+1}\). Ezután így érvelhetünk. Annak a valószínűsége, hogy elsőre pirosat húzunk, \(\displaystyle \frac{k}{k+n}\). Ha viszont elsőre zöldet húztunk, aminek \(\displaystyle \frac{n}{k+n}\) a valószínűsége, akkor az első húzás után \(\displaystyle k\) db piros és \(\displaystyle n-1\) db zöld golyónk maradt. Így ebben az esetben az első húzást követően átlagosan \(\displaystyle E(k,n-1)\) húzás után fogunk megállni. Indukciós feltevésünk szerint tehát valóban

\(\displaystyle E(k,n)=\frac{k}{k+n}+\frac{n}{k+n}\cdot\bigl(E(k,n-1)+1\bigr)= \frac{k}{k+n}+\frac{n}{k+n}\cdot\left(\frac{k+n}{k+1}+1\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{n}{k+n}\cdot\frac{k+n}{k+1}+1=\frac{k+n+1}{k+1}.\)

Statistics:

65 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Czipó Bence, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Leitereg András, Leitereg Miklós, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nemes György, Rábai Domonkos, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 points:	Nagy Bence Kristóf, Papp Roland, Sticza Gergő, Tanner Martin, Tilk Bence.
2 points:	20 students.
1 point:	5 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011