Problem B. 4406. (December 2011)
B. 4406. Lines e1 and e2 are perpendicular, and P is a point on one of their angle bisectors, different from the intersection. Lines f and g pass through P, and intersect the lines ei at points Fi and Gi, respectively. Determine the locus of the intersection of the lines F1G2 and F2G1.
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy annak \(\displaystyle x,y\) tengelyei az \(\displaystyle e_1,e_2\) egyenesek legyenek és a \(\displaystyle P\) pont mindkét koordinátája 1 legyen. Ha az \(\displaystyle F_2\) pont koordinátái \(\displaystyle (0;a)\), ahol \(\displaystyle a\ne 1\), akkor az \(\displaystyle f\) egyenes egyenlete \(\displaystyle y=(1-a)x+a\), vagyis az \(\displaystyle F_1\) pont koordinátái \(\displaystyle (\frac{a}{a-1};0)\). Hasonlóképpen legyenek a \(\displaystyle G_2\) és \(\displaystyle G_1\) pont koordinátái \(\displaystyle (0;b)\), illetve \(\displaystyle (\frac{b}{b-1};0)\), ahol \(\displaystyle b\ne 1\) és \(\displaystyle b\ne a\).
Ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike 0, akkor az \(\displaystyle F_1G_2\) és az \(\displaystyle F_2G_1\) egyenesek metszéspontja az origó lesz; egyébként a két egyenes egyenlete
\(\displaystyle y=\frac{b(1-a)}{a}x+b,\quad \hbox{illetve}\quad y=\frac{a(1-b)}{b}x+a.\)
A két egyenes pontosan akkor lesz párhuzamos, ha \(\displaystyle a+b=ab\), ellenkező esetben metszéspontjuk koordinátái
\(\displaystyle x=\frac{ab}{ab-(a+b)}\quad \hbox{és} \quad y=\frac{-ab}{ab-(a+b)}=-x,\)
ami azt jelenti, hogy a metszéspont rajta van az \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) egyenesek másik szögfelezőjén. Mivel az origó a mértani helyhez tartozik, egyébként pedig \(\displaystyle \frac{1}{x}=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\) még az \(\displaystyle a,b\ne 0,1\), \(\displaystyle a\ne b\) feltételek mellett is tetszőleges értéket felvehet, a keresett mértani hely a teljes szögfelező lesz.
Statistics:
38 students sent a solution. 4 points: Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szilágyi Krisztina, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás. 3 points: Barna István, Czövek Márton, Gyarmati Máté, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Papp Roland, Petrényi Márk, Schultz Vera Magdolna, Szabó 262 Lóránt, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zsakó András. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011