Problem B. 4410. (December 2011)

B. 4410. The teacher in the maths club had an at most nth-degree polynomial in mind. The students may ask the value of the polynomial at any point on the real axis they want. What is the minimum number of points they need, in order to be able to decide in all cases whether the function is even?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értéke páratlan, akkor \(\displaystyle n+1\), ha \(\displaystyle n\) értéke páros, akkor \(\displaystyle n\) a válasz. Először megmutatjuk, hogy ennyi darab alkalmas helyettesítési érték ismeretében a kérdés biztosan eldönthető. Ehhez felhasználjuk azt, hogy ha két legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú polinom \(\displaystyle n+1\) különböző helyen ugyanazt az értéket veszi fel, akkor a két polinom egyenlő, ekkor ugyanis különbségüknek, ami vagy az azonosan nulla, vagy egy legfeljebb \(\displaystyle n\)-ed fokú polinom, van \(\displaystyle n+1\) különböző gyöke, ami pedig a második lehetőséget kizárja.

Legyen először \(\displaystyle n=2k-1\) páratlan szám. Kérdezzük meg az \(\displaystyle f(x)\) függvény helyettesítési értékét a \(\displaystyle \pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\) helyeken. Ha valamely \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle f(-i)\ne f(i)\), akkor a függvény biztosan páratlan. Ha viszont mindegyik esetben \(\displaystyle f(-i)=f(i)\) fennáll, akkor a \(\displaystyle g(x)=f(-x)\), ugyancsak legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú polinomfüggvényre a \(\displaystyle \pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\) helyeken teljesül \(\displaystyle g(x)=f(x)\). Mivel ez \(\displaystyle 2k=n+1\) darab különböző hely, a két polinom egyenlő, tehát minden \(\displaystyle x\) valós számra teljesül \(\displaystyle f(-x)=g(x)=f(x)\), ami éppen azt jelenti, hogy az \(\displaystyle f\) függvény páros. Ha \(\displaystyle n=2k\), akkor az érvelésen csak annyit kell módosítanunk, hogy mivel \(\displaystyle g(0)=f(0)\) automatikusan teljesül, a második esetben most is találunk \(\displaystyle 2k+1=n+1\) különböző helyet, ahol a két polinomfüggvény megegyező értéket vesz fel.

Most megmutatjuk, hogy esetenként szükség is van ennyi helyettesítési érték ismeretére. Az \(\displaystyle n=0\) esetben nincs mit bizonyítani. Egyébként tegyük föl, hogy a tanár történetesen a konstans 1 polinomra gondolt (persze nem tudjuk, hogy ez így történt). Legyen \(\displaystyle m=n\), ha \(\displaystyle n\) páratlan, \(\displaystyle m=n-1\), ha \(\displaystyle n\) páros. Pusztán az \(\displaystyle f(a_1),f(a_2),\ldots,f(a_m)\) értékek ismeretében nem tudjuk eldönteni, hogy a tanár vajon az \(\displaystyle f(x)=1\) függvényre gondolt, vagy esetleg a \(\displaystyle g(x)=1+(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_m)= x^m+\ldots\) függvényre, hiszen \(\displaystyle g(a_i)=f(a_i)=1\) teljesül minden \(\displaystyle i\)-re. Ez utóbbi azonban nem lehet páros függvény, hiszen \(\displaystyle g(x)-g(-x)=2x^m+\ldots\) biztosan nem azonosan 0.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Makk László, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Papp Roland, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Tardos Jakab, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsakó András.
4 points:	Gyarmati Máté, Maga Balázs, Schultz Vera Magdolna.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011