Problem B. 4431. (February 2012)

B. 4431. Are there positive integers n and k such that $\big(5+3\sqrt{2}\,\big)^{n}= \big(3+5\sqrt{2}\,\big)^{k}$ ?

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy mivel $\displaystyle \sqrt{2}$ irracionális szám, az $\displaystyle a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$ egyenlőség $\displaystyle a,b,c,d$ egész számokkal csak úgy állhat fenn, ha $\displaystyle a=c$ és $\displaystyle b=d$. A binomális tétel szerint kifejtve látható, hogy $\displaystyle \big(5+3\sqrt{2}\,\big)^{n}=A+B\sqrt{2}$, ahol

$\displaystyle A=\sum_{i=0}^{[n/2]} \binom{n}{2i}\cdot5^{n-2i}\cdot 3^{2i}\cdot2^i\quad \hbox{és}\quad B=\sum_{i=0}^{[(n-1)/2]} \binom{n}{2i+1}\cdot5^{n-2i-1}\cdot 3^{2i+1}\cdot2^i$

egész számok; ugyanakkor $\displaystyle \big(5-3\sqrt{2}\,\big)^{n}=A-B\sqrt{2}$ is fennáll. Hasonlóképpen legyen $\displaystyle \big(3+5\sqrt{2}\,\big)^{k}=C+D\sqrt{2}$ és $\displaystyle \big(3-5\sqrt{2}\,\big)^{k}=C-D\sqrt{2}$ alkalmas $\displaystyle C,D$ egész számokkal. Ha feltesszük, hogy $\displaystyle \big(5+3\sqrt{2}\,\big)^{n}= \big(3+5\sqrt{2}\,\big)^{k}$, akkor megjegyzésünk alapján ebből $\displaystyle A=C$, $\displaystyle B=D$, és ezáltal $\displaystyle \big(5-3\sqrt{2}\,\big)^{n}= \big(3-5\sqrt{2}\,\big)^{k}$ következik. Innen viszont

$\displaystyle 7^n=\left((5+3\sqrt{2})(5-3\sqrt{2})\right)^n= \left((3+5\sqrt{2})(3-5\sqrt{2})\right)^k=(-41)^k$

adódik, ami nyilván nem lehetséges, tehát nincsenek ilyen $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ pozitív egészek.

Statistics:

48 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Frank György, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kaprinai Balázs, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Magyari Ábel, Mester Márton, Mihálykó András, Mogyorósi Ferenc, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Novák László, Ódor Gergely, Pap Tibor, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012

48 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Frank György, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kaprinai Balázs, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Magyari Ábel, Mester Márton, Mihálykó András, Mogyorósi Ferenc, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Novák László, Ódor Gergely, Pap Tibor, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
0 point:	7 students.

Already signed up?
New to KöMaL?