Problem B. 4451. (April 2012)

B. 4451. Consider a convex n-sided polygon that has no four vertices lying on the same circle. Three vertices are selected in every possible way, and the circle passing through the three points is drawn. Such a circle is called thin if the vertices of the polygon (except the vertices of the triangle) all lie outside the circle. The circle is called fat if all vertices of the polygon lie on the closed disc bounded by the circle. Are there more thin circles or more fat circles?

Suggested by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sokszög valamely három csúcsa által meghatározott háromszög legyen sovány, illetve kövér, ha a köré írható kör ilyen tulajdonságú. Mivel semelyik négy csúcs nem esik egy körre, minden sovány, illetve kövér körhöz egyérteműen megfeleltethető egy hasonló tulajdonságú háromszög. Megmutatjuk, hogy mind a sovány, mind a kövér háromszögek az adott n-szög egy háromszögelését (egymást nem metsző átlókkal történő háromszögekre bontását) adják. Mivel az n-szög szögeinek összege (n-2), annak tetszőleges háromszögelése pontosan n-2 darab háromszöget tartalmaz. Ezért a sovány és a kövér körök száma egyaránt n-2.

Először is megmutatjuk, hogy létezik sovány és kövér háromszög is. Legyen AB a sokszög tetszőleges oldala, és jelölje C, illetve D azt a csúcsot, amelyből az AB oldal a legnagyobb, illetve legkisebb szög alatt látszik. Ekkor az ABC háromszög sovány, míg az ABD háromszög kövér.

Ezután megmutatjuk, hogy semelyik két sovány (kövér) háromszögnek nincs közös belső pontja. Tegyük fel ugyanis, hogy két ilyen háromszögnek van közös belső pontja. Mivel a csúcsok konvex helyzetben vannak, ez csak úgy lehet, ha a két háromszögnek van egy-egy oldala, melyek metszik egymást. Ez a két oldal az n-szög egy-egy átlója, melyeket jelöljön AC és BD. Mivel az ABCD négyszög nem húrnégyszög, feltehető hogy

Ekkor azonban bármely olyan kör, amely illeszkedik az A, C pontokra, a B, D pontok közül legalább egyet tartalmaz, vagyis nem lehet sovány. Hasonlóképpen, bármely olyan kör, amely illeszkedik a B, D pontokra, az A, C pontok közül legfeljebb egyet tartalmaz, vagyis nem lehet kövér.

Végül megmutatjuk, hogy ha a sokszög valamely átlójára illeszkedik egy sovány (kövér) háromszög, akkor arra illeszkedik egy másik hasonló tulajdonságú háromszög is. Tegyük fel, hogy az ABD háromszög sovány (kövér), ahol BD a sokszög egy átlója. Tekintsük az eredeti n-szögnek azon csúcsait, melyek a BD egyenes által határolt azon zárt H félsíkba esnek, mely az A pontot nem tartalamazza. Ezek egy olyan konvex sokszöget határoznak meg, melynek egyik oldala BD. Legyen C ennek a sokszögnek egy olyan csúcsa, melyre a BDC háromszög sovány (kövér) erre az új sokszögre nézve. Nem nehéz belátni, hogy ez a háromszög az eredeti n-szögre nézve is sovány (kövér). Valóban, ha az ABD háromszög sovány (kövér), akkor C az ABD körön kívül (belül) esik, tehát a BCD körvonalnak a H félsík komplementerébe eső része az ABD körön belül (kívül) helyezkedik el. Ezért a BCD zárt körlemez az eredeti sokszög -ba eső csúcsai közül egyet sem tartalmaz (az összeset tartalmazza).

Az elmondottakból már látszik, hogy mind a sovány, mind a kövér háromszögek valóban az adott n-szög egy háromszögelését alkotják. Induljunk ki ugyanis egy sovány (kövér) T₁ háromszögből. Ha n=3, akkor már készen is vagyunk. Ha n4, akkor T₁-nek van egy olyan oldala, amely a sokszögnek átlója. Ezen átlóra illeszkedik egy T₂ ugyancsak sovány (kövér) háromszög, melynek nincsen T₁-gyel közös belső pontja. Ha a két háromszög mind a négy szabadon lévő oldala az eredeti sokszögek is oldala, akkor n=4 és készen vagyunk. Ellenkező esetben valamelyik szabadon maradt oldal a sokszögnek átlója, így arra egy újabb T₃ háromszöget illeszthetünk. Az eljárást folytatva végül eljutunk az n-szög egy háromszögeléséhez, ami az összes sovány (kövér) háromszöget tartalmazza, hiszen azok nem metszhetik egymást.

Statistics:

11 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Herczeg József, Kiss 902 Melinda Flóra, Mester Márton, Rácz Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás.
4 points:	Nagy Róbert.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012